CURVAS Y ESPEJOS (Libro en papel)

EL CARÁCTER FUNCIONAL DE LA ACTIVIDAD MONÁDICA EN G.W. LEIBNIZ

de HERRERA CASTILLO,LAURA E.

Sinopsis

LA PREGUNTA POR LA IDEA DE FUNCIONALIDAD
En el planteamiento de la pregunta por la presencia de un cierto carácter funcional en nuestra relación con el mundo, es indudable la importancia de la filosofía de G. W. Leibniz. Así lo atestiguan las lecturas de su filosofía que realizan tanto Ernst Cassirer como Heinrich Rombach , donde se presenta a Leibniz como un actor principal en el desplazamiento del lugar privilegiado del concepto de sustancia por el de función, un cambio que ocasiona el desplazamiento ?o transformación? de la ontología de la sustancia por aquella de la función. Mientras que no cabe duda de que la perspectiva de la funcionalidad es paradigmática para comprender el mundo fenoménico y para definir una configuración suya en cuanto tal, no hay un acuerdo común en la literatura sobre la presencia de la idea de funcionalidad más allá de lo fenoménico.
De acuerdo con Heinrich Rombach , la historia del pensamiento occidental se divide en tres momentos conceptuales: la sustancia, el sistema y la estructura. La última es el concepto determinante del presente, aunque suele mezclarse e irrigarse de la concepción sistemática típica de la época comprendida entre el alta edad media y la modernidad tardía. Tras la idea de la sustancia se esconde el ser-para-sí, la mismidad; la sustancia es la base otorgadora de sentido para el ser (Sein); el contenido de esta base otorgadora de sentido es lo existente (Wesen), que se construye con el ser-para-sí (Für-sich-sein) y la cosidad, o algo-idad (Etwasheit). Mientras que bajo el modelo de la sustancia todo lo que es, o bien es una cosa (o una sustancia), o bien algo a la par de la sustancia o de la cosa, con la idea de la función se desarrolla otra conceptualidad. Aquí lo determinante no es un ser por sí, sino que todo ser se construye en relación con otros, de manera que en el paradigma de la función el lugar crucial de la independencia propia de la sustancia se ve ocupado por el de la correspondencia. Así, el algo funcional es impensable solo por sí o como condición previa al todo. Puesto que no hay nada independiente del conjunto, ocurre tanto que el todo ?esto es, el conjunto mismo?, se da solo en la articulación de las partes singulares, como que las partes singulares obtienen su realidad en la articulación con el todo. En el modelo de la funcionalidad el ser no es más un concepto adecuado para describir lo que se da y pierde su papel de centro articulador.
De acuerdo con Rombach, en Leibniz se da una ampliación de lo que tradicionalmente se entendía como metafísica, una donde la consideración de lo real está en estrecha relación con una consideración de la naturaleza que, a su parecer, es el problema fundamental y el marco dentro del cual cabe hacer la pregunta por la sustancia . A este contexto responde la importancia que Leibniz dio, ya desde su juventud, a los métodos de las ciencias exactas y a la idea de la relatividad de los conocimientos exactos, que nos resultan siempre accesibles no tanto desde la perspectiva de lo que es en cuanto tal como de aquella de lo que aparece. Considerando esta distinción entre lo real y lo fenoménico puede considerarse, como lo hace Juan A. Nicolás, que en el pensamiento de Leibniz hay una línea de interpretación de la realidad fenoménica en términos de un funcionalismo, con el que se abre la vía para el pensamiento científico y su legitimación racional, donde no hay más una esencia inalterable sino que las notas constitutivas de la sustancia toman su valor por la función que desempeñan con respecto al todo . Como señala también ya Ernst Cassirer, en los trabajos de Leibniz se da una ampliación del campo de la función que escapa a la matemática y la mera relación geométrica entre los puntos de una recta. El pensamiento funcional, esto es, el de la relación de dependencia entre partes, es una herramienta con la que se transforma el modo de comprensión de la naturaleza; un caso particular de la fuerza del pensamiento funcional para la nueva ciencia leibniziana será para Cassirer la consideración del espacio y el tiempo como relaciones . En suma, la idea de la función es en Leibniz una clave para restructurar el método y los principios generales de comprensión de lo real y con ella puede labrarse un camino entre la matemática y el ámbito del ser .
Inscribiéndose en el contexto de estas lecturas del pensamiento de Leibniz, la presente investigación se propone encontrar la idea de funcionalidad que subyace a conceptos centrales de la metafísica leib-niziana, por los cuales se modifica la comprensión misma de lo que hay. Restringimos la búsqueda derivada de este propósito general a la identificación de los rasgos de la funcionalidad en el centro definitorio de la sustancia leibniziana o mónada: su actividad. Así, esta investigación se desarrolla en dos fases, que responden a aspectos hasta ahora no investigados a profundidad por los lectores de Leibniz: la determinación de la idea de funcionalidad en sus escritos; la identificación de esta funcionalidad operando en las formas de darse de la actividad monádica. El punto de partida para la primera de las fases de esta búsqueda serán los escritos matemáticos de Leibniz. En la determinación del punto de partida seguimos también a Cassirer, que señala que tras la estancia de Leibniz en París, donde adquiere sus conocimientos de matemática superior, el joven alemán se ve impulsado a
remontar la mirada sobre el horizonte estrecho de las consideraciones puramente aritméticas. La geometría analítica le brinda el ejemplo de curvas cuyos valores de abscisas y ordenadas se hallan entrelazados por una regla fija y unívoca, pero sin que esta dependencia pueda expresarse en una ecuación algebraica de determinado grado. Se establece aquí, por tanto, una rigurosa relación sujeta a ley entre dos o varias magnitudes, sin que por ello una de las series pueda derivarse de la otra mediante la aplicación de las simples operaciones aritméticas de la suma, la resta, la multiplicación y la división. En general, es el concepto de función el que ahora viene a ocupar el lugar del concepto de número, como el verdadero fundamento y contenido de la matemática . [?] Hasta aquí, el interés recaía esencialmente sobre la determinación de los elementos que formaban los contenidos complejos; ahora, versa principalmente sobre las formas en que se combinan. [?] El número mismo, que ahora no se concibe y define ya, como en un principio, como una simple suma de unidades, sino como una relación de magnitudes, es tan solo el caso más simple de la relación en general .
Esta fructífera idea de la relacionalidad funcional no se limita a los contextos meramente matemáticos. En la poderosa generalidad que se esconde en la idea de relación funcional ?que Cassirer identifica con el concepto de función ? se superan las limitaciones del campo del número y la magnitud. En opinión de Cassirer, ?el concepto matemático abstracto de función se extiende hasta convertirse en el concepto de armonía de la ética y metafísica? . Cassirer considera, así, que con la idea de función se traza una línea que vincula todas las esferas del pensamiento de Leibniz: de la matemática a la metafísica, de la función a la armonía. No hasta ese punto llevará Rombach la impronta de la funcionalidad, pues considera el carácter funcional como un descriptor exclusivo del campo de lo fenoménico . De esta opinión sería también Nicolás, que relega el campo de la funcionalidad al ámbito de las manifestaciones fenoménicas de las sustancias, constituyendo uno de los polos del eje vitalidad-funcionalidad, en el marco de una ontología de la individualidad sistémica . Nuestra investigación parte de la inquietud sobre la presencia de una cierta funcionalidad operativa en el sistema leibniziano, presente en la propuesta de Nicolás. Nos manifestamos, sin embargo, de acuerdo con Cassirer, en cuanto que encontramos la presencia de un carácter funcional en la metafísica leibniziana, pero no perseguimos en esta investigación las consecuencias ulteriores de una funcionalización tal de la metafísica que bajo su modelo cupieran la armonía ética y metafísica leibnizianas. Antes bien, nos centramos en uno de los aspectos en los que se muestra lo funcional: la actividad monádica. Dado el doble carácter de la acción monádica, por la cual ella consiste tanto en expresión como en fuerza (en su darse fenoménico), también ha de encontrarse dicho carácter funcional en ambas esferas, operando detrás de ambas formas de presentarse de la actividad monádica. Hay, pues, un carácter funcional tanto en la fuerza, vínculo regulador entre la actividad monádica tomada en cuanto tal ?metafísicamente? y el darse fenoménico de las sustancias ?el mundo de los cuerpos físicos?, como en la expresión, forma más propia de actividad monádica. Así, trazamos una línea entre el campo aparentemente estéril para reflexiones filosóficas que constituye la estricta resolución de problemas geométricos y el campo propiamente filosófico de la metafísica, mostrando una conexión entre dos esferas distintas del pensamiento de un mismo autor. Trazar y seguir esta línea es posible al reconocer que en la mal concebida esterilidad del concepto matemático de función se esconde una potencia interior que va enriqueciéndose y ganando matices al seguir sus mutaciones en otros conceptos, llegando, incluso, a convertirse en el rasgo central de la perspectiva epistemológica del pensamiento leibniziano; una alternativa frente al sustancialismo cartesiano .
En el presente trabajo nos proponemos, en primer lugar, explorar la idea de funcionalidad dentro del estricto límite de los escritos de Leibniz, buscando determinar un concepto de función y una idea de lo funcional fiel al pensamiento del autor alemán; en segundo lugar, abordamos la pregunta ?para nosotros con una respuesta afirmativa? de si acaso puede encontrarse en Leibniz un carácter funcional no solo en el ámbito de lo fenoménico sino también en el de lo metafísico. Partimos, pues, de la determinación del concepto matemático de función en los escritos de Leibniz basándonos para ello en el concepto contemporáneo de función. Pero no lo hacemos con el propósito de dilucidar los orígenes de la acepción contemporánea de dicho concepto con vistas a esta acepción misma, sino a lo que pueda entenderse como funcionalidad partiendo del propio Leibniz. Para ello, más que el concepto de función ?que podría estar presente en el cálculo leibniziano bajo otro nombre ? perseguimos el nombre función para abstraer a partir de sus usos un concepto leibniziano matemático de función. Esta búsqueda no se ha elaborado antes, con la notable excepción del trabajo de Dietrich Mahnke; sin embargo, su estudio no se dedica tampoco al concepto de función o la determinación de un concepto leibniziano de función, sino a la evolución del análisis superior, proceso dentro del cual se hacen diversas indicaciones en torno al nombre función y su significado en los escritos de Leibniz. Son, pues, dos preguntas distintas la de si el concepto matemático actual de función tiene cabida en los escritos matemáticos de Leibniz y su cálculo infinitesimal, y la pregunta por lo que quiera decir el término función cuando aparece en un contexto matemático, a mano de Leibniz.
Habiendo aclarado los interrogantes iniciales, esta investigación parte de la reconstrucción de una historia del concepto de función, tomando como modelo la acepción del concepto en la matemática contemporánea. A esta reconstrucción se dedican la primera y segunda parte del primer capítulo, comenzando por la identificación de un instinto de funcionalidad en la matemática de los antiguos griegos y babilonios. Se muestra aquí el enorme aunque poco reconocido protagonismo de la matemática medieval en la matematización de la ciencia en general, y en la introducción de relaciones funcionales para la descripción de los fenómenos físicos, aunque no se tuviera plena conciencia de las funciones y, por tanto, no se las denominara con un nombre específico. Un momento siguiente en la evolución es la época posterior a la cinemática medieval pero aún anterior al descubrimiento del cálculo, época en la que se plantean los problemas geométricos y físicos que servirán de base para que Leibniz y Newton llegaran, cada uno por su parte, a desarrollar sus versiones del cálculo incipiente. El desarrollo de esta herramienta crucial es abordado con cierto detenimiento en una sección correspondiente, dentro de la cual se responden a las preguntas por el papel que juega Leibniz en la historia del surgimiento del concepto de función y cuál es el papel que dicha idea tendría dentro de su cálculo.
Pese al lugar central que ocupa el concepto de función dentro del cálculo y la indudable importancia que el mismo tiene dentro de la matemática contemporánea, muy poco ha sido dicho en torno a lo que Leibniz entendía por función. El contexto en el que se atiende al significado que tiene el concepto para Leibniz suele ser el de la historia de la matemática, pero allí no suele dársele al concepto un tratamiento central o detenido. Normalmente, Leibniz aparece en las historias de la matemática a propósito de su descubrimiento del cálculo y las cuestiones específicas sobre el concepto de función ?si acaso el leibniziano equivale al que tenemos hoy en día y cuál es su significado dentro de los manuscritos del alemán?, son desatendidas por no responder al interés general de dichos estudios. En la literatura de la segunda mitad del siglo XX suele remitirse a los estudios de A. P. Youschkevitch como referencia para el aporte de Leibniz en la historia del cálculo y, en ocasiones, su concepto de función; sin embargo, una reconstrucción pormenorizada no es de encontrar en los valiosos estudios de Youschkevitch, quien, al referirse a Leibniz, remite, a su vez, a Dietrich Mahnke para consideraciones más exactas. Este último ofrece un estudio cuidadoso sobre la historia del desarrollo del análisis superior, dentro del cual se atiende con detenimiento a los escritos leibnizianos en los que se dan pasos importantes para el desarrollo del cálculo y, en general, de nuevos métodos para encontrar áreas. En este contexto aparecen indicaciones sobre cómo entender el término función en los escritos de Leibniz. Con todo, no hay un estudio dedicado con exclusividad a la explicación de este concepto en los escritos matemáticos de Leibniz, sean los de su juventud o madurez. Por esta razón y dada la importancia que dicho concepto tiene para nuestra investigación, la tercera y cuarta parte del primer capítulo se dedican a la identificación de un concepto de función en los escritos matemáticos de Leibniz, así como la precisión de los rasgos definitorios de una idea de funcionalidad desnuda de matematicidad. Se hace aquí una búsqueda minuciosa de las apariciones del nombre y, dentro del contexto de su uso, se persigue el significado que tiene el término. Atendiendo a los manuscritos matemáticos pueden identificarse dos acepciones: una no matemática, donde el término tiene el mismo significado que tiene en el habla cotidiana, es decir, donde se usa como sinónimo para una tarea a realizar o deber; en segundo lugar, el término tiene una acepción matemática, por la que función es un nombre común para diversos tipos de rectas y otras magnitudes dependientes de curvas. En el manuscrito del primer cuarto del año 1673, recogido en la edición de la Academia como De functionibus plagulae quattuor pero conocido en la literatura como Methodus tangentium inversa seu de functionibus, el término función es utilizado por primera vez en la historia en un sentido matemático. En esta época, Leibniz no tiene plena conciencia de la importancia del concepto del que se percata en décadas posteriores; de ahí que en los escritos de juventud no ofrezca definiciones directas o indirectas del término y tengamos que perseguir su significado abstrayendo los rasgos comunes de sus varias utilizaciones. Atendemos, en un primer momento, a este escrito cuidando el contexto de su composición; en segundo lugar, buscamos el concepto de función en escritos de madurez de Leibniz, cuando por fin ofrece definiciones descriptivas del mismo. Como no debe sorprender, la búsqueda en el contexto matemático arroja resultados que se ciñen a él: en el concepto de función entendido como nombre común para rectas y fragmentos de ellas que están en una relación de dependencia con una determinada curva no hay, a primera vista, elementos extrapolables a la metafísica leibniziana. Ahora bien, tomando como punto de partida el significado matemático preciso del concepto de función y poniendo atención a lo que hay de común entre todos los elementos geométricos que Leibniz denomina como funciones, pueden abstraerse tres rasgos definitorios: legalidad, serialidad y reciprocidad. El conjunto de estos rasgos es lo que denominamos en la investigación como una funcionalidad desnuda o expandida y será en este sentido que comprendamos la búsqueda de una funcionalidad o instinto de funcionalidad en la metafísica de Leibniz.
En los siguientes capítulos de esta investigación defendemos que los rasgos de la funcionalidad desnuda se encuentran operativos en contextos metafísicos, de manera que no se da una relación funcional solo entre magnitudes geométricas, sino también entre mónadas. Más aún, hay un carácter funcional que puede rastrearse incluso en el centro definitorio de la mónada misma: su actividad. Puesto que la idea misma de acción sustancial entraña una ambivalencia por la cual ella se da metafísicamente pero se muestra también físicamente, la acción de la sustancia equivale tanto a la expresión como a la fuerza ínsita en todos los cuerpos. El capítulo segundo se dedica a la identificación de un carácter funcional en la relación expresiva. Para ello, partimos de una exposición general del concepto leibniziano de expresión, uno de los más centrales de su metafísica. Dada la riqueza de su significado y la importancia que tiene dentro del sistema leibniziano, guiamos nuestra búsqueda centrándonos en una de las metáforas de las que se sirve Leibniz para ilustrar su concepto: la metáfora del espejo. Rastreamos las apariciones de la metáfora en escritos de corte metafísico buscando delimitar, basándonos en los usos que su autor hace de ella, los rasgos centrales de la relación entre el reflejo y lo reflejado para ver de qué manera la metáfora del espejo puede ilustrar la relación expresiva. En esta caracterización se dejan ver los rasgos de la funcionalidad expandida que perseguimos; por ello, en la última parte del segundo capítulo evaluamos la descripción de la relación expresiva como funcional, en diálogo con los anteriores lectores de Leibniz que así caracterizan el concepto de expresión, aunque utilicen el adjetivo funcional con un significado distinto del nuestro.
Si en la expresión hay una relación de dependencia serial entre los respectos expresivos, análogamente tendría que haberla también entre los elementos de la fuerza. Más aún, en los escritos de Leibniz se encuentra una formulación de la fuerza primitiva en términos de ley de la serie, descripción que en la literatura sobre Leibniz, y a primera vista, puede recordar el concepto de función como una asignación, en sentido matemático. En el tercer capítulo sometemos a examen el modelo de la funcionalidad expandida en la contrapartida física de la expresión, esto es, la manifestación fenoménica de la actividad monádica como fuerza. Para ello, hacemos énfasis en la necesidad que tiene dicho concepto para el estudio de los fenómenos corporales, pues en los argumentos leibnizianos para demostrar dicha necesidad suele dejarse ver el doble carácter ?físico y metafísico? del concepto de acción. En un segundo momento pasamos a la identificación del carácter funcional de la fuerza, centrándonos en la descripción de la fuerza primitiva como ley de la serie. Atendemos al lugar privilegiado que tiene la idea de la fuerza primitiva misma para ilustrar la naturaleza de los fenómenos físicos como aquello que debe su realidad a un fundamento metafísico pero es solo posible en su configuración doble, por la que, a la vez, es fenoméno y está bien fundado. En el papel de la fuerza primitiva para esta doble configuración de los fenómenos se esconden los rasgos de la funcionalidad desnuda, como los hemos determinado en el primer capítulo del trabajo y perseguido en el segundo y tercero del mismo.
De esta manera, en la presente investigación no solo se busca un aspecto desatendido, aunque central, del sistema leibniziano, sino que se dan pasos definitivos para posibilitar su búsqueda, a saber: la delimitación del contexto histórico del surgimiento del concepto de función y del papel que juega Leibniz en esta historia evolutiva; la precisión del concepto matemático de función y configuración de los rasgos generales de la funcionalidad abstraídos a partir de él; la localización y señalamiento de un ámbito para la operación de la funcionalidad expandida en la actividad monádica; la determinación de las actividades precisas de este ámbito de operación para la funcionalidad, esto es, la expresión, actividad metafísica por excelencia, donde se muestra de qué manera se identifican los rasgos de la funcionalidad; la fuerza, actividad a la vez física y metafísica, donde también se deja ver una funcionalidad operativa. Acudimos en cada momento a nuestros predecesores, dialogamos con ellos y otros lectores de Leibniz que se acercan a esta manera de interpretar su sistema y ponemos a prueba la hipótesis inicial, por la cual hay una línea de funcionalidad que se deja identificar en los escritos de matemática de su autor y que, sin embargo, se puede rastrear también en su metafísica y dinámica.